Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 4 • section 15.1.2 • Page 188 de 396
soit :
div g = ∂g u
∂r + 2 r g u + 1 ∂g v
r cos ϕ ∂λ + 1 r
∂g w
∂ϕ − tan ϕ g w (4.6)
r
Alors, le champ de gravitation G(P ) émis par une masse m placée en O est à flux conservatif en tout point
P différent de O puisque, pour tout r ≠ 0, on obtient :
(
div − Km )
r 2 u = ∂ (
− Km )
∂r r 2 + 2 −Km
r r 2 = 0
On peut aussi trouver directement cette propriété en calculant le flux sortant d’une surface fermée ne contenant
pas le point O : En fait, faisons ce calcul pour une petite surface élémentaire fermée contenant le volume compris
dans un cône de sommet O et d’angle solide dΩ et entre deux sphères de centre O de rayons R et R+dR ; les deux
petites surfaces sphériques correspondantes ont alors pour aires : R 2 dΩ et (R+dR) 2 dΩ. Le flux de G sortant des
faces coniques de la surface est nul puisque le champ est radial ; le flux sortant de la surface sphérique de rayon
R : −Km
R 2 ×(−R 2 dΩ) est compensé par celui sortant de l’autre surface sphérique : −Km
(R + dR) 2 ×(R+dR) 2 dΩ.
Le flux sortant total est donc nul. Or, tout domaine de l’espace peut être ainsi décomposé en petits éléments de
volumes limités par un cône et deux sphères, et quand deux tels éléments sont en contact par une de ces surfaces,
le flux qui sort de l’un par cette surface rentre dans l’autre par la même surface, donnant un flux global nul. Donc,
le flux de G sortant de toute surface fermée ne contenant pas O est nul.
En revanche, si on prend une surface S fermée contenant O, on peut isoler à l’intérieur du volume contenu
dans S, une sphère de centre O et de rayon ε aussi petit que l’on veut ; le flux qui sort de cette sphère, de surface
4πε 2 , vaut − Km
ε 2 × 4πε 2 = −4πKm. Le reste du volume contenu dans S est maintenant limité par cette sphère
et par S, mais le point O ne faisant pas partie de ce volume, le flux sortant de ce volume par S et par la sphère est
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