Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 5 • section 20.3.0 • Page 237 de 396
La première expression de ṙ vient de la description de l’hodographe du mouvement képlérien vue en (3.14) Les
éléments osculateurs (a, e, i, Ω, ω, M) vérifient alors les équations suivantes, appelées équations de Gauss :
G da
dt = 2a2 [Re sin w + S(1 + e cos w)]
G de
dt
G di
dt
G sin i dΩ
dt
Ge dω
dt
dM
dt
= p [R sin w + S (cos w + cos E)]
= r W cos(ω + w)
(5.24)
= r W sin(ω + w)
dΩ
= −p R cos w + (r + p) S sin w − Ge cos i
dt
= n(t) − √ 1 [2r R + G ( dω dΩ
+ cos i µa dt dt )]
Pour utiliser ce système d’équations différentielles, il faut encore y remplacer G par √ µp et p par a(1 − e 2 ),
puis exprimer les quantités képlériennes variables r, w et E en fonction des éléments osculateurs eux-mêmes ;
si F dépend de la position et de la vitesse de P , il faut utiliser le formulaire de passage des position-vitesse aux
éléments d’orbite pour exprimer aussi R, S et W en fonction de ces éléments. Ces transformations peuvent se
faire analytiquement si l’expression de F n’est pas trop compliquée et si l’excentricité est suffisamment petite
pour permettre d’utiliser les développements du mouvement képlérien vus en §3-13.4 et exprimés en fonction
de l’anomalie moyenne. Le plus souvent, les équations de Gauss sont utilisées pour intégrer numériquement
le mouvement de P dans les cas de forte excentricité ou de forte inclinaison (par exemple pour des petites
planètes du système solaire, ou pour des satellites très excentriques) ou quand F n’a pas une expression simple.
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