Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 5 • section 22.2.1 • Page 288 de 396
On en déduit G 1 par une intégration terme à terme :
G 1 (x ′ , y) =
∑
k∈{(k 1 ,k 2 ,k 3 )}
k 1 ≠0
H (1)
k (x′ )
k 1 n 0 1(x ′ 1) sin(k · y) (5.108)
Il est inutile d’ajouter à cette solution une fonction arbitraire indépendante de y 1 . Ainsi, H ′(1) ne contient pas de
termes à courte période, tandis que G 1 ne contient que des termes à courte période.
Les fonctions H ′(1) et G 1 étant ainsi déterminées, on peut calculer H ′(2) et G 2 à partir des termes d’ordre 2 de
l’expression (5.105) :
H ′(2) (x ′ , y) = ∂H(0) ∂G 2
∂x ′ + ∑ H (2)
k
1 ∂y (x′ ) cos(k · y) +
1
k
+ ∑ k
+ 1 ∂ 2 H (0)
2!
∂H (1)
k (x′ )
∂x ′ · ∂G 1
∂y
∂x ′2
1
cos(k · y) +
( ∂G1
) 2 ∂H ′(1) (x ′ , y)
− · ∂G 1
∂y 1 ∂y ∂x ′
Sachant que G 1 [resp. H ′(1) ] est somme de termes en sin(k ′ · y) [resp. cos(k ′ · y)], chaque produit dans le
second membre de cette équation se développe en cos ((k ± k ′ ) · y), donnant des termes indépendant de y 1
chaque fois que (k ± k ′ ) est de la forme (0, k 2 , k 3 ). Appelons F (2)
k
(x′ ) le coefficient qui regroupe tous les termes
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