Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 4 • section 15.1.1 • Page 185 de 396
une fonction U 1 (x, y, z). On a alors :
dP = dx i + dy j + dz k
dU 1 = ∂U 1
∂x dx + ∂U 1
∂y dy + ∂U 1
∂z dz
dont on déduit l’expression du gradient en coordonnées cartésiennes :
grad P U 1 (x, y, z) = ∂U 1
∂x i + ∂U 1
∂y j + ∂U 1
∂z k (4.3)
De même, en coordonnées sphériques, P étant repéré par (r, λ, ϕ), le potentiel U(P ) est une fonction U 2 (r, λ, ϕ)
dont la différentielle vaut :
dU 2 = ∂U 2
∂r dr + ∂U 2
∂λ dλ + ∂U 2
∂ϕ dϕ
Dans (u, v, w), base locale des coordonnées sphériques en P , on a par ailleurs :
dP = dr u + r cos ϕ dλ v + r dϕ w
On en déduit l’expression du gradient en coordonnées sphériques :
grad P U 2 (r, λ, ϕ) = ∂U 2
∂r u + 1 ∂U 2
r cos ϕ ∂λ v + 1 r
∂U 2
∂ϕ w (4.4)
Exercice Dans le cas d’une masse m placée en O, origine du repère de définition des coordonnées sphériques, le champ
de gravitation défini en (4.1) dérive du potentiel de gravitation U(P ) représenté en coordonnées sphériques
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