Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 26.2.1 • Page 382 de 396
26.2.1. Méthode d’intégration : séparation des termes périodiques
On cherche une solution à ces équations, sous la forme suivante :
A = Â + Ã = Â(t) + ɛÃ1(Â, ̂X , Ẑ, ̂Q, t) + ɛ 2 Ã 2 (Â, ̂X , Ẑ, ̂Q, t) + · · ·
V = ̂V + Ṽ = ̂V(t) + ɛṼ1(Â, ̂X , Ẑ, ̂Q, t) + ɛ 2 Ṽ 2 (Â, ̂X , Ẑ, ̂Q, t) + · · ·
X = ̂X + ˜X = ̂X (t) + ɛ ˜X 1 (Â, ̂X , Ẑ, ̂Q, t) + ɛ 2 ˜X2 (Â, ̂X , Ẑ, ̂Q, t) + · · ·
Z = Ẑ + ˜Z = Ẑ(t) + ɛ ˜Z 1 (Â, ̂X , Ẑ, ̂Q, t) + ɛ 2 ˜Z2 (Â, ̂X , Ẑ, ̂Q, t) + · · ·
Q = ̂Q + ˜Q = ̂Q(t) + ɛ ˜Q 1 (Â, ̂X , Ẑ, ̂Q, t) + ɛ 2 ˜Q2 (Â, ̂X , Ẑ, ̂Q, t) + · · ·
(6.154)
où Â, ̂X , Ẑ et ̂Q sont des fonctions inconnues de t, d’ordre 0 en ɛ car dépendant des constantes d’intégration
arbitraires du problème ; on va montrer que l’on peut déterminer ces fonctions de façon à ce que Ã, ˜X , ˜Z et ˜Q
soient des séries de termes quasi-périodiques de t, à courtes périodes, et dont les amplitudes soient des fonctions
explicites de (Â, ̂X , Ẑ, ̂Q) ; ces termes seront d’ordre 1 au moins en ɛ. Si U = Û + Ũ désigne globalement
l’ensemble des variables (A, X , Z, Q), les équations du mouvement s’écrivent alors :
dÂ
( ∂
dt + ɛ Ã 1
∂ Û · d Û )
dt + ∂Ã1 + · · · =
∂t
∑
√ −1 N 0 ɛ P (A)
1,p ( Û + ɛ Ũ 1 + · · ·) exp √ −1(p · N 0 )t
(p)≠(0)
(6.155)
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