Cours de Mécanique céleste classique

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(ϖ − ϖ ′ ) ou (Ω − Ω ′ ) que l’on qualifierait de “termes à longue période” si l’on distinguait, comme en §22, les
variables angulaires des variables métriques : En fait, dans les problèmes de type planétaire, la partie séculaire
d’un développement n’est pas l’ensemble des termes indépendants des variables angulaires, mais par définition,
l’ensemble des termes indépendants des seules longitudes moyennes. Notons encore que les coefficients de
Laplace définis en (6.78) vérifient un certain nombre de relations de récurrence que l’on pourrait établir en
dérivant (6.76), fonction génératrice de ces coefficients, par rapport à ψ ou par rapport à ρ. On peut en déduire
d’autres relations de récurrence entre les fonctions ϕ (j)
n,m(α 0 ) ; on montrerait en particulier que les coefficients
qui apparaissent dans les expressions (6.91) et (6.92) vérifient la relation :
2 ϕ (0)
1,2 + 3 2 ϕ(0) 1,1 = 1 4 α 0 ϕ (1)
3,0 (6.93)
25.1.7. Remarques sur les propriétés de d’Alembert et de parité des séries
Nous avons rencontré ces propriétés dans tous les développements construits jusqu’ici, notamment ceux de
1/∆ ou ceux des perturbations indirectes de U ou U ′ . Ces développements peuvent tous être organisés en séries
de termes T de la forme :
T = Cz k z k z ′k′ z ′k′ ζ l ζ l ζ ′l′ ζ ′l′ exp √ −1(pL + p ′ L ′ ) (6.94)
Nous avons vu en (6.71) que la propriété de d’Alembert correspond, pour chaque terme T , à l’égalité de la
caractéristique du monôme et de la caractéristique de l’inégalité :
C I = p + p ′ = k − k + l − l + k ′ − k ′ + l ′ − l ′ = C M (6.95)
En fait, dans le cas de 1/∆, cette propriété est une conséquence de l’invariance des distances r, r ′ et ∆ dans
toute rotation du repère de référence R 0 autour de l’axe P 0 k 0 . Pour montrer cette invariance, il suffit de voir que
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