Cours de Mécanique céleste classique

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de (5.107), on obtient :
n 0 1
H ′(1) (x ′ , y) =
∂G 1
+ n 0 ∂G 1
2 =
∂y 1 ∂y 2
On en déduit alors, par intégration terme à terme :
G 1 (x ′ , y) =
∑
k∈{(0,0,k 3 )}
∑
k∈{(k 1 ,k 2 ,k 3 )}
k 1 ≠0 ou k 2 ≠0
∑
k∈{(k 1 ,k 2 ,k 3 )}
k 1 ≠0 ou k 2 ≠0
H (1)
k (x′ ) cos(k 3 y 3 ) (5.115)
F (1)
k (x′ )
k 1 n 0 1 + k 2 n 0 2
F (1)
k (x′ ) cos(k · y)
sin(k · y) (5.116)
On procéderait de la même façon aux ordres supérieurs. Cependant cette séparation des termes à courte période
ne pourra pas se faire s’il existe des entiers k 1 et k 2 tels que le diviseur k 1 n 0 1+k 2 n 0 2 soit si petit que l’amplitude du
terme correspondant : εF (1)
k
(x′ )/(k 1 n 0 1 +k 2 n 0 2) se retrouve être d’ordre 0 en ε ; de tels termes sont appelés termes
résonnants ou termes critiques ; comme on ne peut pas les retenir dans G 1 qui doit être d’ordre 1, ils doivent être
inclus dans H ′(1) , non intégrés, avec les termes de (5.115) pour lesquels k 1 et k 2 sont tous deux nuls. Ainsi, la
méthode de Von Zeipel permet toujours d’éliminer les termes à courte période, qui sont non résonnants, mais les
éventuels termes critiques se retrouvent finalement dans le nouvel hamiltonien avec les termes séculaires et ceux
à longue période. Le traitement ultérieur de cet hamiltonien est plus ou moins complexe, suivant la nature de la
résonance.
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