Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 3 • section 13.5.0 • Page 163 de 396
coefficients peuvent être calculés au moyen de développements en série entière de e. Notons que d’un point de
vue numérique, le calcul des fonctions de Bessel par leur développement en série entière de e, n’est efficace que
pour des excentricités modestes : Si e est trop grand, la série étant alternée, la convergence est fort lente ; il vaut
mieux alors utiliser une représentation numérique des fonctions de Bessel issue du calcul numérique direct de
l’intégrale (3.116b). Si e est assez petit, la série (3.121) est rapidement convergente et le nombre de termes utiles
peut être relativement petit. Cependant, ce ne sont pas forcément les premiers termes du développement de Fourier
qui sont prépondérants ; l’identification des termes importants de ces séries est facilitée par la considération
de la propriété dite “de d’Alembert” que vérifient ces séries.
13.5. La propriété de d’Alembert
D’après (3.121), J k (x) est d’ordre k en x ; cela signifie que si x est une quantité suffisamment petite, J k (x)
est assimilable au terme de plus bas degré en x dans son développement en série entière, c’est-à-dire au terme en
x k ; plus précisément :
J k (x) ≈
xk
2 k k! (1 − O(x2 )) pour k ≥ 0
x |k|
J k (x) ≈ (−1) |k|
2 |k| |k|! (1 − O(x2 )) pour k < 0
Dans toutes les séries de Fourier en M trouvées précédemment, on observe que le coefficient de chaque
terme en sin kM ou cos kM (correspondant à l’ “harmonique” k) dépend d’une ou de plusieurs fonctions de
Bessel dont les indices sont k ± n où n est une constante. Ce coefficient est donc au moins de degré p en
excentricité, où p = min(|k − n|, |k + n|). Lorsque l’excentricité est faible, il est alors assez facile de reconnaître
le terme prépondérant dans chacune de ces séries de Fourier ; c’est en général celui dont le coefficient contient
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