Cours de Mécanique céleste classique

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⊙ ⊕ ∅ Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 4 • section 15.4.3 • Page 200 de 396 15.4.3. Développement du potentiel de gravitation Finalement, le développement du potentiel de gravitation d’un corps quelconque en un point P extérieur à ce corps et exprimé en fonction des coordonnées sphériques de P , admet la forme générale suivante : U 2 (r, λ, ϕ) = K ∞∑ n∑ n=0 p=0 1 r n+1 P (p) n (sin ϕ) [c np cos pλ + s np sin pλ] (4.24) où les coefficients c np et s np dépendent de la répartition des masses dans ce corps. La convergence de ce développement n’est pas toujours assurée si r est trop petit ; cela peut dépendre de la forme du corps. Il convient en fait très bien pour représenter le potentiel de gravitation des planètes ou des satellites dont la forme est voisine d’une sphère ; le développement converge alors généralement jusqu’à la surface du corps. Si la répartition de matière a la symétrie sphérique autour de O, le développement doit se réduire à un seul terme : seul c 00 est non nul et vaut M. Si la répartition de matière admet la symétrie de révolution autour d’un axe, en choisissant Ok suivant cet axe, la coordonnée λ mesure alors une longitude autour de l’axe de révolution, et donc le potentiel, qui admet la même symétrie de révolution, ne doit pas dépendre de λ. Seul les coefficients c n = c n0 sont alors différents de zéro et le potentiel est de la forme : U 2 (r, −, ϕ) = ∞∑ n=0 c n P n (sin ϕ) r n+1 (4.25) Si, en plus de la symétrie de révolution, le corps admet un plan de symétrie perpendiculaire à l’axe de révolution, le centre de masse G est situé à l’intersection de ce plan et de cet axe ; en prenant O en G, le plan Oij dans •Sommaire •Index •Page d’accueil •Précédente •Suivante •Retour •Retour Doc •Plein écran •Fermer •Quitter
⊙ ⊕ ∅ Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 4 • section 15.4.4 • Page 201 de 396 ce plan et Ok suivant cet axe, le potentiel devient une fonction paire de la latitude ϕ ; vue la parité des polynômes de Legendre, il ne subsiste alors dans le développement (4.25) que les termes correspondant à n pair. Ce type de symétrie est la symétrie sphéroïdale ; on verra plus loin que les planètes sont généralement très proches de sphéroïdes. 15.4.4. Calcul du développement du potentiel de gravitation Pour traiter le cas d’un corps quelconque S, cherchons d’abord le potentiel élémentaire dU d’une masse ponctuelle dm placée en un point Q de S ; soient ϱ, l et θ les coordonnées sphériques de Q dans le repère Oijk. Le potentiel engendré par la masse dm en un point P de coordonnées sphériques (r, λ, ϕ) sera alors : soit, d’après (4.19) : dU 2 (r, λ, ϕ) = dU(P ) = Kdm |QP| Kdm √ r2 − 2rϱ cos ψ + ϱ = Kdm 2 r ∞∑ ( ϱ ) n Pn (cos ψ) r n=0 •Sommaire •Index •Page d’accueil •Précédente •Suivante •Retour •Retour Doc •Plein écran •Fermer •Quitter
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