Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 2 • section 9.0.0 • Page 81 de 396
de sorte qu’en comparant avec (2.29), on obtient les 2n + 1 équations :
p i = ∂G 2(q j , y j , t)
∂q i
pour i = 1 · · · n (2.31)
x i = ∂G 2(q j , y j , t)
∂y i
pour i = 1 · · · n (2.32)
H ′ (x i , y i , t) − H(q i , p i , t) = ∂G 2(q j , y j , t)
∂t
Il suffit donc de trouver la fonction G 2 (q j , y j , t) vérifiant l’équation aux dérivées partielles suivantes :
(2.33)
H ′ ( ∂G 2(q j , y j , t)
, y i , t) − H(q i , ∂G 2(q j , y j , t)
, t) = ∂G 2(q j , y j , t)
∂y i ∂q i ∂t
(2.34)
Ensuite, les 2n équations (2.31) et (2.32) donnent les relations de passage entre anciennes et nouvelles variables :
Comme ces 2n équations dépendent des 4n variables (q i , p i , x i , y i ) et du temps, elles permettent, en principe,
d’exprimer 2n variables en fonction des 2n autres variables et du temps ; ainsi la fonction G 2 qui définit ces
relations mérite bien le nom de fonction génératrice du changement de variables. L’équation (2.34) montre en
outre que l’hamiltonien conserve sa valeur si G 2 ne dépend pas explicitement de t.
Exemples de fonctions génératrices :
1. La fonction G 2 = ∑ i q iy i engendre la transformation identique puisqu’on a :
p i = ∂G 2
∂q i
= y i ; x i = ∂G 2
∂y i
= q i ; H ′ = H quel que soit H
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