Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 2 • section 9.1.0 • Page 86 de 396
On en déduit : x = α = ∂G 2
∂β = −t ± ∫
√ m dq
, d’où l’on tire :
m(2β − kq2 )
±√
k
m (t + α) = arcsin(√ k/2β q)
soit :
√
2β k
q = ±√
k sin (t + α)
m
α et β sont ainsi les 2 constantes arbitraires qui doivent nécessairement apparaître dans la solution générale.
On vérifie ensuite que :
p = ∂G 2
∂q
= ±√ m(2β − kq 2 ) = ± √ √
k
2mβ cos (t + α)
m
est bien égal à m ˙q. Le signe ± doit être choisi suivant les conditions initiales, par exemple suivant le signe de la
vitesse (ou signe de p) à l’instant t = −α.
Remarque . Dans cet exemple, β représente l’énergie totale du système car on a en fait : H = − ∂G 2
= β ;
∂t
ceci montre que l’on aurait aussi pu rechercher des variables canoniques (x, y) ne modifiant pas la valeur de
l’hamiltonien (H ′ (x, y) ≡ H(q, p)) et tel que H ′ (x, y) = y. On vérifie bien que y est constant car alors ẏ =
− ∂H′
∂H′
= 0 et l’on peut prendre y = β. On aura alors aussi : ẋ =
∂x ∂y = 1, soit x = t − t 0. Pour obtenir un tel
hamiltonien, il suffit de trouver la fonction génératrice G indépendante de t telle que :
H ′ (x, y) − H(q, p) = 0 avec x = ∂G
∂y
et
p = ∂G
∂q
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