Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 24.1.0 • Page 311 de 396
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P 2
P 0
P 1
Or, ces deux équations peuvent être satisfaites en même temps si P 1 et P 2 décrivent chacun autour de P 0
des coniques coplanaires de même foyer P 0 , de même demi-grand axe et de même excentricité, bref des coniques
égales mais déduites l’une de l’autre par une rotation de ±60 ◦ autour de P 0 ; alors, comme la constante
d’attraction µ = K(m 0 + m 1 + m 2 ) est la même pour les 2 équations képlériennes (6.19), les mouvements
sur ces deux coniques se feront de façon synchrone (en particulier avec la même période si les 2 mouvements
sont elliptiques) : Il suffit pour cela qu’au départ P 1 et P 2 forment avec P 0 un triangle équilatéral et que leurs
vitesses ṙ 1 et ṙ 2 vérifient : |ṙ 1 | = |ṙ 2 | et r 1 ∧ ṙ 1 = r 2 ∧ ṙ 2 ; autrement dit, à cet instant, les vitesses sont égales et
forment entre elles le même angle de 60 ◦ que les rayon-vecteurs ; ces conditions initiales suffisent pour donner
des mouvements képlériens identiques, coplanaires, simplement décalés de 60 ◦ l’un de l’autre.
Si ces mouvements sont circulaires, P 1 et P 2 parcourent le même cercle, de centre P 0 , avec 2 dispositions
possibles des 3 corps, l’une correspondant au cas où P 2 est en avance de 60 ◦ sur P 1 , et l’autre, au cas où il est
en retard de ce même angle. Dans un repère P 0 ijk 0 tournant avec P 1 autour de P 0 k 0 (le vecteur P 0 P 1 y est donc
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