Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 3 • section 11.4.0 • Page 103 de 396
De sorte que (3.18) se transforme en cette équation du second ordre régulière en r = 0, linéaire et à coefficients
constants :
r ′′ − 2h r = µ (3.22)
Cette équation est valable pour tous les types de mouvement (plan ou rectiligne). Sa solution générale dépend du
signe de h, mais contient toujours 2 constantes arbitraires α et β :
1. pour h < 0 : r = − µ 2h + α sin √ −2h τ + β cos √ −2h τ
2. pour h = 0 : r = µ 2 τ 2 + α τ + β
3. pour h > 0 : r = − µ 2h + α sinh √ 2h τ + β cosh √ 2h τ
En supposant τ = 0 à l’instant t p du passage au péricentre, on pourra ensuite intégrer (3.19) en :
t − t p =
∫ τ
0
r dτ
et calculer α et β en tenant compte de la valeur de r et de r ′ à l’instant t p :
r(t p ) = q =
p
1 + e
et r ′ (t p ) = r ṙ(t p ) = 0 (3.23)
On obtient : α = 0 et β = q si h = 0, sinon : α = 0 et β = q + µ 2h
. Selon la nature de l’orbite, on obtient alors
les résultats suivants :
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