Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 4 • section 15.2.0 • Page 192 de 396
rayon ε, et écrire :
∫
U(P ) =
Q∈S ε(P )
K
|QP|
∫Q∈D−S dm + K
ε(P ) |QP| dm
La deuxième intégrale converge puisque la masse totale est finie et que |QP| n’est jamais nul dans le domaine
d’intégration. La première intégrale converge également car on a, dans la sphère S ε (P ) :
K dm
|QP|
=
Kρ(Q) dV
|QP|
≤ Kρ max × 4πr 2 dr
r
avec
r = |QP|
On en déduit :
∫
∫
K
ε
Q∈S ε(P ) |QP| dm ≤ 4πKρ max r dr = 2πKρ max ε 2
r=0
On montrerait de même que l’intégrale (4.10) converge en tout point, même à l’intérieur de D.
Chaque champ élémentaire dG(P ) est à flux conservatif partout sauf au point Q de D qui l’engendre. Par
extension des résultats obtenus pour une répartition discrète de masses, on a encore les propriétés suivantes : La
somme de ces champs, G(P ), est à flux conservatif partout sauf en tout point intérieur à D ; c’est équivalent
de dire que le flux sortant de toute surface fermée ne contenant aucune partie de D (ne contenant donc pas de
matière) est nul. Hors de la matière, on a donc l’équation de Laplace :
∫
∀ P ⊄ D ∆ U(P ) = 0 avec U(P ) =
Q∈D
K
|QP| dm (4.12)
et le potentiel de gravitation d’une masse quelconque en un point extérieur à celle-ci est une fonction harmonique.
Au contraire, à l’intérieur de la matière, le potentiel de gravitation n’est plus une une fonction harmonique
car ∆U n’est plus nul mais vaut −4πKρ. En effet, lorsqu’un champ dérive d’un potentiel U, le flux sortant de
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