Cours de Mécanique céleste classique

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uvw des coordonnées sphériques (pour un corps non tournant) :
⎧
[
∂U
∞∑
n∑
∂r =−KM r 2 1 + (n + 1) an e
r n
n=2
p=0
[ ⎪⎨
∑ ∞ n∑
grad U =
⎪⎩
1 ∂U
r cos ϕ ∂λ =−KM r 2
1 ∂U
r ∂ϕ =
KM
r 2
n=2
[ ∞
∑
n=2
a n e
r n
a n e
r n
p=1
n∑
p=0
pJ np
P (p)
n (sin ϕ)
cos ϕ
J np
dP (p)
n (sin ϕ)
dϕ
J np P (p)
n (sin ϕ) cos p(λ − λ np )
sin p(λ − λ np )
cos p(λ − λ np )
]
]
]
(4.36)
Notons que dans la deuxième composante, cos ϕ disparaît finalement du dénominateur car, pour p > 0, P (p)
n (sin ϕ)
contient toujours cos ϕ en facteur (cf. Tableau 4 ou la formule (4.17)).
Avec les valeurs de J 2 , J 3 etc. vues précédemment pour les planètes, l’accélération réelle due à la gravitation
reste toujours assez voisine de l’accélération principale képlérienne en KM
r 2 ; cependant, l’accélération réelle
n’étant plus exactement centrale, la loi des aires est seulement approchée et l’orbite d’un satellite n’est généralement
plus confinée dans un plan. On verra dans la Partie 5 (en (5.31) par exemple) comment les termes non
képlériens perturbent le mouvement des satellites. Avant cela, il est déjà intéressant d’évaluer le rapport A 1 /A 0
entre A 1 , le plus gros des termes non képlériens (celui en J 2 ), et A 0 , le terme képlérien (A 0 = KM/r 2 ). On
trouve, quelque soit ϕ : ∣ ∣ ∣∣∣ A 1 ∣∣∣ a 2 e
≤ 3 J 2
A 0 r 2
Ce rapport caractérise l’ordre de grandeur de la perturbation qui est engendrée par la non-sphéricité de la planète.
On voit que ce rapport diminue très rapidement lorsque r augmente ; par exemple, voici l’influence de la non-
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