Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 3 • section 11.4.0 • Page 109 de 396
puis :
X = r cos w = q (1 − tan 2 w 2 )
Y = r sin w = p tan w 2
r Ẋ = −√ µp tan w 2
(3.41)
r Ẏ = √ µp
Remarque 1. Les formules donnant les coordonnées X et Y de P dans le repère propre du mouvement képlérien
auraient pu aussi être obtenues de façon purement vectorielle en appliquant les opérateurs de dérivation (3.20)
au vecteur r. En effet, on trouve alors :
r ′′ = r 2 ¨r + rṙ ṙ = −µ u + rṙ ṙ
Or, en développant µ e = ṙ ∧ (r ∧ ṙ) − µ u et en tenant compte de l’intégrale de l’énergie, on obtient µ e =
2h r + µ u − rṙ ṙ, de sorte que r satisfait finalement à l’équation vectorielle suivante, linéaire et à coefficients
constants :
r ′′ − 2h r = −µ e (3.42)
Exercice Les composantes X et Y de r s’en déduisent aisément en fonction de τ ou de E (suivant le signe de h), en
utilisant les conditions initiales :
r(t p ) = q u 0 et r ′ (t p ) = r ṙ(t p ) = G ∧ u 0
Remarque 2. La régularisation de l’équation (3.18) en r = 0 était nécessaire surtout pour le cas où r peut
devenir nul, c’est-à-dire pour le mouvement képlérien rectiligne lorsque le point P “tombe” sur le foyer O. Son
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