Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 5 • section 22.2.1 • Page 291 de 396
Dans ces expressions, x ′ et y ′ sont solutions des équations d’Hamilton relatives à l’hamiltonien H ′ , indépendant
de y ′ 1, donné en (5.111).
Remarque 1. Dans le cas des perturbations d’un satellite artificiel (hamiltonien (5.97) avec ε = J 2 ), on aboutirait
à un hamiltonien H ′ ayant une structure particulière :
H ′ (x ′ , y ′ ) = H ′(0) (x ′ 1) + εS ′(1) (x ′ 1, x ′ 2, x ′ 3, −, −, −) +
p∑
i=2
ε i
∑
k∈{(0,k 2 ,k 3 )}
F (i)
k (x′ ) cos(k · y ′ ) (5.114)
où l’on a bien mis en évidence que la partie d’ordre 1, εS ′(1) , est de nature “séculaire” car elle ne dépend d’aucune
des variables angulaires. Cette partie s’identifie en effet à l’expression de U J2 donnée en (5.63) en fonction des
variables de Delaunay et on a montré que cette partie de U J2 , indépendante de l’anomalie moyenne, est aussi
indépendante de l’argument du péricentre. De plus, comme l’hamiltonien initial ne dépend pas de la longitude
du nœud, aux ordres supérieurs on a k 3 = 0 dans chaque terme, soit k · y ′ ≡ k 2 y ′ 2 où y ′ 2 représente l’argument
du péricentre.
Remarque 2. La méthode de Von Zeipel peut s’étendre au cas où l’hamiltonien initial dépend de plusieurs
variables “rapides” (comme avec le problème des N corps de type planétaire cf. §6-25) : elle permet alors
d’éliminer tous les termes à courte période dépendant de ces variables. C’est par exemple le cas où l’hamiltonien
d’ordre 0 ne dépend que de deux variables x 1 et x 2 ; leurs conjuguées y 1 et y 2 sont alors des variables rapides, dont
les variations sont au moins d’ordre 0 : n 0 1 = − ∂H(0)
∂x 1
(en supposant que l’on ait toujours 3 degrés de liberté).
et n 0 2 = − ∂H(0)
∂x 2
avec H (0) ≡ H (0) (x 1 , x 2 , −, −, −, −)
Pour éliminer y 1 et y 2 , on cherche une fonction génératrice de la même forme qu’en (5.103), on exprime que
le nouvel hamiltonien est égal à l’ancien comme en (5.105), et on identifie ordre par ordre ; à l’ordre 1, à la place
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