Cours de Mécanique céleste classique

⊙ ⊕ ∅
Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 5 • section 21.5.0 • Page 260 de 396
Cette expression s’obtient en dérivant par rapport à e l’expression définissant les coefficients de Hansen :
X n,m
k
(e) = 1
2π
∫ 2π
0
( r
a
) n
exp
√ −1mw exp − √ −1kM dM
et sachant que le formulaire du mouvement képlérien permet de trouver les dérivées de r et de w par rapport à
e ; on a en effet d’abord :
r
a ∂e( = 1 − e cos E =⇒ ∂ r
)
= − cos E + e sin E ∂E
a
∂e
⎫⎪ ⎬
M = E − e sin E =⇒ 0 = (1 − e cos E) ∂E
∂e − sin E =⇒ ∂ ( r
= −
∂e a)
cos E − e
1 − e cos E
r
a cos w = cos E−e ⎪ ⎭ = − cos w
On a ensuite, en prenant la dérivée logarithmique de la relation tan 2 w 2 = 1 + e
1 − e tan2 E 2 :
dw
sin w =
dE
sin E +
de ∂w
2
=⇒
1 − e ∂e = sin w
1 − e 2 + sin w
sin E
∂E
( a
∂e = sin w r + 1 )
1 − e 2
Si l’excentricité e reste assez petite on peut développer les coefficients de Hansen en séries entières de e et
tronquer ces séries à un certain degré. Le calcul de ces développements polynomiaux en e peut se faire en
√
variables complexes X et ¯X (où X = e exp −1M) et en utilisant la méthode vue en §3-13.8. En revenant
ensuite aux variables e et M, on obtient le résultat suivant, au degré 3 en e :
Dev4.1
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