Cours de Mécanique céleste classique

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géocentrique rapporté à l’écliptique et à l’équinoxe moyens pour J2000 2 )
12.2. Eléments d’orbite canoniques du mouvement képlérien
Nous recherchons ici des jeux de variables canoniquement conjuguées qui soient des constantes dans le mouvement
képlérien. Partant de variables canoniques associées à un certain paramétrage du point P , nous allons appliquer
la méthode d’Hamilton-Jacobi pour passer de ces variables à de nouvelles variables qui soient constantes.
Nous en déduiront, pour le mouvement elliptique, les éléments canoniques de Delaunay, puis ceux de Poincaré
qui évitent certaines singularités présentes dans les éléments de Delaunay.
12.2.1. Calcul de l’hamiltonien
Soit R 0 = Oi 0 j 0 k 0 le repère galiléen dans lequel le point P est représenté par le vecteur r = r u. On pourrait
utiliser des coordonnées cartésiennes ou des coordonnées sphériques, et définir les variables canoniques
correspondantes à partir du Lagrangien. Au lieu de cela, nous préférons utiliser ici un système de coordonnées
particulier qui permettra de tenir compte facilement de la propriété du mouvement képlérien d’être plan.
Considérons donc un plan (Π) dont les seules contraintes soient pour le moment de passer par O et par P et
de couper le plan de référence Oi 0 j 0 ; on suppose aussi que P et O ne sont pas confondus. Soient k un vecteur
unitaire normal à (Π), γ = (k 0 , k) l’angle des deux plans et n le vecteur unitaire de la direction k 0 ∧ k. Notons
que le plan (Π) n’est pas lié pour le moment au vecteur vitesse de P . Le vecteur u peut alors être déduit de i 0
par les trois rotations suivantes correspondant à trois angles d’Euler : rotation d’angle ϑ = (i 0 , n) autour de k 0 ,
2 Selon l’usage des astronomes, les dates sont souvent données dans la chronologie julienne, où les jours successifs sont simplement numérotés consécutivement
depuis un certain jour. Ainsi le jour julien numéro 2 451 545 débute le premier janvier 2000 à 12 heures et correspond à la date J2000.
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