Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 4 • section 15.5.2 • Page 208 de 396
Dans la base locale des coordonnées sphériques, on a ainsi :
⎧
⎪⎨ − KM
g = grad U p = r 2 (1 − 3 a2 e
r 2 J 2 P 2 (sin ϕ) + · · ·) + ω 2 r cos ϕ suivant u
⎪⎩ −3 KM a 2
r 2
e
r 2 J 2 sin ϕ cos ϕ + · · · − ω 2 r sin ϕ cos ϕ suivant w
La verticale d’un lieu, parallèle à g, ne passe donc pas par le centre de la Terre, sauf aux pôles (ϕ = ±π/2) et à
l’équateur (ϕ = 0). Manifestement, les équipotentielles du champ de pesanteur ne sont pas sphériques.
Dans l’hypothèse où l’on assimile la surface de la Terre à une équipotentielle du champ de pesanteur, on peut
trouver une relation entre les coefficients J 2 , J 4 etc. et les paramètres α et c qui caractérisent la forme de la Terre
et sa rotation et qui sont ainsi définis : Si b représente le rayon polaire de la Terre, la quantité α = (a e − b)/a e
représente l’aplatissement géométrique de la Terre ; par ailleurs, la quantité c = ω 2 a 3 e/KM exprime le rapport
entre l’accélération centrifuge à l’équateur due à la rotation de la Terre (ω 2 a e ), et l’accélération principale due à
la gravitation (KM/a 2 e ≈ g e , valeur de g à l’équateur).
En exprimant que le potentiel de pesanteur prend la même valeur aux pôles et à l’équateur, et limitant l’expression
du potentiel de gravitation de la Terre à sa partie en J 2 :
U(r, λ, ϕ) = KM (
a 2 )
e
1 − J 2
r r 2 P 2(sin ϕ)
Exercice on obtient cette relation, due à Clairaut :
3J 2 = 2α − c (4.32)
α peut être obtenu à partir des mesures géodésiques faites en divers points de la Terre, qui ont donné la courbure
de la Terre en ces points et α = 1/298, 257 ; on a alors b = 6 356 755 m. Avec c = 1/288, 90, on obtient :
J 2 = 1/927, 72 = 0, 0010814. Donc, le premier terme du potentiel de gravitation de la Terre, qui manifeste sa
non-sphéricité, est environ mille fois plus petit que le terme principal.
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