Cours de Mécanique céleste classique

⊙ ⊕ ∅
Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 4 • section 15.4.3 • Page 199 de 396
p
n
Tableau 4. Polynômes et fonctions associées de Legendre P (p)
n (s), avec s = sin ϕ et c = cos ϕ = √ 1 − s 2 .
Les polynômes de Legendre P n (s) correspondent à la valeur p = 0.
0 1 2 3 4 · · ·
0 1 0
1 s c 0
3
2
2 s2 − 1 2
3s c 3c 2 0
5
3
2 s3 − 3s 2 ( 15 2 s2 − 3) c 2 15s c2 15c 3 0
4
35
8 s4 − 15 4 s2 + 3 8
( 35 2 s3 − 15 2
.
s) c (
105
2 s2 − 15 2 ) c2 105s c 3 105c 4
On peut montrer que dans l’intervalle |s| ≤ 1, on a : |P n (s)| ≤ 1 pour tout n ; alors, le développement (4.19)
est absolument convergent pour |t| < 1.
où
On pourrait encore établir cette relation intéressante, dite formule d’addition des polynômes de Legendre :
n∑
P n (sin θ sin φ + cos θ cos φ cos λ) = α np P n
(p) (sin θ) P n (p) (sin φ) cos pλ (4.23)
p=0
{ 1 si p = 0
α np = (n − p)!
2
(n + p)!
si p ≠ 0
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