Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 26.1.2 • Page 372 de 396
suffisamment grands pour que la somme |p k +p i |, caractéristique de l’inégalité, soit elle-même un nombre grand ;
alors, d’après la propriété de d’Alembert, le degré en excentricités et inclinaisons d’un tel terme est aussi très
élevé, puisque au moins égal à cette caractéristique, ce qui, en pratique, rend négligeable le terme correspondant.
Cependant, si le système de planètes comporte deux moyens mouvements moyens n 0k et n 0i tels que, pour p
et q entiers et petits, la quantité (p n 0k − (p + q)n 0i )/n 0k soit de l’ordre de ɛ, les termes correspondants sont de
faible degré (égal à q) en excentricités et inclinaisons, et sont associés à un petit diviseur de l’ordre de ɛ ; or, avant
intégration, ces termes sont déjà de l’ordre de ɛ ; leur intégration donnerait donc un terme de d’ordre 0 en ɛ. En
fait, à cause de la double intégration dans L 1 qui conduit à élever au carré ces petits diviseurs éventuels, il suffit
même que l’on ait (p n 0k − (p + q)n 0i )/n 0k de l’ordre de √ ɛ pour se retrouver dans la même situation : On dit
qu’il y a alors commensurabilité des moyens mouvements ou résonance orbitale. Plus précisément, l’inégalité
correspondante p L k − (p + q)L i étant de caractéristique q, on dit que c’est une résonance d’ordre q. Ainsi,
puisque l’identification des termes résonnants ne peut pas se faire à l’ordre 1, la méthode de Le Verrier exclut les
problèmes de résonance ; il existe des méthodes spécifiques à appliquer dans ce cas, mais leur développement
dépasse l’objet de ce cours (on trouvera néanmoins quelques indications sur ce problème à la fin de ce chapitre).
Dans le système des grosses planètes du système solaire, de Mercure à Neptune, il n’y a pas vraiment de
situation de résonance mais il y en a une entre Neptune et Pluton (résonance d’ordre 1 avec p = 2 et p + q = 3) ;
il en existe aussi de nombreuses entre des astéroïdes et Jupiter, ou entre plusieurs satellites de Jupiter ou entre
ceux de Saturne. Cependant, pour les grosses planètes, il existe des cas de résonance approchée, ou de quasicommensurabilité,
associée à une grande inégalité ou inégalité à longue période. Ainsi, entre Jupiter et Saturne,
l’inégalité (2L J − 5L S ) est considérée généralement comme étant “la grande inégalité” du système solaire :
Les moyens mouvements moyens N J et N S de Jupiter et de Saturne donnés dans la partie 3 dans le Tableau
3, donnent en effet 2N J − 5N S = −4 ′′ , 019 par jour, correspondant à une période de 883 ans. Bien que cette
inégalité soit de caractéristique 3 (donc de degré 3 au moins en excentricités et inclinaisons), son amplitude est
considérable, surtout dans la longitude moyenne de Jupiter et de Saturne où ce petit diviseur est élevé au carré par
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