Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 4 • section 15.4.4 • Page 203 de 396
Exercice Les fonctions à intégrer sont des fonctions harmoniques des coordonnées sphériques de Q ; ce sont aussi des
polynômes homogènes des coordonnées cartésiennes (x, y, z) de Q. Effectuons le calcul des coefficients a np et
b np pour n = 0, 1 et 2, en prenant l’expression des P (p)
n (sin ϕ) dans le Tableau 4.
• n = 0 et donc : p = 0 ; on a : a 00 = ∫ dm = M masse totale de S.
• n = 1 et donc : p = 0 et 1 ; on obtient :
a 10 = ∫ ϱ sin θ dm = ∫ z dm = M Z G
a 11 = ∫ ϱ cos θ cos l dm = ∫ x dm = M X G
b 11 = ∫ ϱ cos θ sin l dm = ∫ y dm = M Y G
Ces coefficients dépendent donc des coordonnées (X G , Y G , Z G ) du centre de masse G dans Oijk. Ils seraient
donc nuls si l’origine O du repère était prise en G.
• n = 2 et donc : p = 0, 1 et 2 ; on trouve :
a 20 = ∫ ϱ 2 ( 3 2 sin2 θ − 1) dm = ∫ ∫ 3
2 2 z 2 dm − 1 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) dm
a 21 = ∫ ϱ 2 (3 sin θ cos θ) cos l dm = 3 ∫ xz dm
a 22 = ∫ ϱ 2 (3 cos 2 θ)(2 cos 2 l − 1) dm
b 21 = ∫ ϱ 2 (3 sin θ cos θ) sin l dm
b 22 = ∫ ϱ 2 (3 cos 2 θ)(2 sin l cos l) dm
= 6 ∫ x 2 dm − 3 ∫ (x 2 + y 2 ) dm
= 3 ∫ yz dm
= 6 ∫ xy dm
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