Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 25.1.2 • Page 334 de 396
25.1.2. Développement de r n /r ′n+1
On a vu dans la partie 3 comment obtenir les développements du mouvement képlérien elliptique sous forme
de séries entières des variables X et X. Les développements utiles ici sont ceux de (r/a) n exp √ −1m(w −
M), exprimés en coefficients de Hansen et en anomalie moyenne (cf. (3.146)). Comme les excentricités sont
supposées petites, on peut tronquer ces séries à un degré d donné relativement faible (pour la plupart des planètes
d peut être pris entre 2 et 7). On peut ainsi présenter le développement (3.146) sous la forme d’un polynôme de
degré d par rapport aux variables X et X :
( r n
√ exp −1m(w − M) =
a) ∑
C n,m
k,k Xk X k + O(e d+1 ) (6.49)
0≤k+k≤d
Bien sûr, ici, et dans des situations analogues ultérieures, k ne représente pas le conjugué de k, mais une
simple notation pour les exposants entiers de X. Pour obtenir ces développements, on peut suivre la méthode
expliquée dans la remarque 2 du §3-13.8, en calculant d’abord les développements de (a/r), de (r/a) et de
θ = exp √ −1(w − M) ; on les donne ici, limités par exemple au degré 2 en excentricité :
Dev2.2.2
a
r = 1 + 1 2 (X + X) + 1 2 (X2 + X 2 ) + O(e 3 )
r
a = 1 − 1 2 (X + X) − 1 4 (X2 − 2XX + X 2 ) + O(e 3 )
θ = 1 + (X − X) + 1 8 (9X2 − 8XX − X 2 ) + O(e 3 )
(6.50)
Ces polynômes permettent ensuite de construire successivement tous les développements de (r/a) n θ m à partir
de n = 0 ou de m = 0, en faisant simplement des produits de polynômes (pour m < 0, on part du conjugué de
θ). Bien sûr, les développements de (a ′ /r ′ ) etc.. . . s’obtiennent en changeant X et X en X ′ et X ′ .
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