Cours de Mécanique céleste classique

⊙ ⊕ ∅
Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 5 • section 22.1.3 • Page 279 de 396
Tenant compte des relations :
sin(k · ¯x 2 ) cos(k ′ · ¯x 2 ) = 1 2 [ sin ((k − k′ ) · ¯x 2 ) + sin ((k + k ′ ) · ¯x 2 )]
cos(k · ¯x 2 ) cos(k ′ · ¯x 2 ) = 1 2 [ cos ((k − k′ ) · ¯x 2 ) + cos ((k + k ′ ) · ¯x 2 )]
(5.94)
sin(k · ¯x 2 ) sin(k ′ · ¯x 2 ) = 1 2 [ cos ((k − k′ ) · ¯x 2 ) − cos ((k + k ′ ) · ¯x 2 )]
on voit que la substitution des ∆x i dans les équations provoque des combinaisons d’arguments, engendrant soit
des termes séculaires, soit des termes périodiques suivant que le triplet (k ± k ′ ) est nul ou non. Cependant, dans
l’équation (5.92), comme les termes dépendent du sinus des arguments, les combinaisons associées à un triplet
nul donnent des termes nuls : tout comme à l’ordre 1, il n’y a donc pas de terme séculaire dans cette équation
à l’ordre 2 et on peut montrer qu’il n’y en aurait pas non plus aux ordres supérieurs. On peut donc séparer de
nouveau l’équation :
d¯x 1
dt = 0 =⇒ ¯x 1 = ¯x 10
= (a 0 , e 0 , i 0 ) constants
(5.95 a)
et identifier le second membre de (5.92) à d∆x 1
.
dt
Au contraire, l’équation (5.93) étant une expression en cosinus des arguments, les triplets (k ± k ′ ) nuls
engendrent des termes séculaires d’ordre 2 qui viennent s’ajouter à ceux qui existaient déjà à l’ordre 1. On peut
montrer qu’aux ordres supérieurs on obtient encore d’autres termes séculaires dans cette équation. On peut donc
écrire formellement :
d¯x 2
dt = ¯n + ε ¯n S(¯x 1) + ε 2 ¯n S 2 (¯x 1 ) + · · · = n x2 constant =⇒ ¯x 2 (t) = n x2 t + ¯x 20 (5.95 b)
•Sommaire •Index •Page d’accueil •Précédente •Suivante •Retour •Retour Doc •Plein écran •Fermer •Quitter