Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 4 • section 15.4.0 • Page 194 de 396
ρ ≡ ρ(r). Un tel système est ainsi composé de couches sphériques d’égale densité et a la forme sphérique.
Alors, par raison de symétrie, le champ et le potentiel de gravitation de ce système possèdent aussi la symétrie
sphérique de centre O et ne dépendent que de r ; les équipotentielles sont des sphères centrées en O, et le champ
(gradient du potentiel) est central, normal à ces sphères ; notons ce champ : g(r) = g(r) u. Le flux de ce champ
sortant de l’équipotentielle de rayon r vaut : 4πr 2 g(r). Ce flux vaut aussi −4πKM où M est la masse totale
contenue dans l’équipotentielle considérée. On en déduit :
g(r) = − KM
r 2
Donc le champ s’écrit : g(r) = − KM
r 2 u, et c’est le même que celui d’une masse ponctuelle M placée en O.
Ainsi, l’effet gravitationnel d’un système à symétrie sphérique est le même que si toute sa masse était concentrée
en son centre.
En première approximation, on considère généralement que le Soleil et les planètes sont des sphères dont
la matière est disposée en couches homogènes sphériques : Cela explique qu’on les considère alors comme des
masses ponctuelles. Cependant, il convient maintenant de tenir compte de la forme réelle (non sphérique) de ces
corps.
15.4. Systèmes quelconques
Lorsqu’on s’éloigne indéfiniment d’un corps matériel étendu mais fini, son potentiel tend vers celui d’une
masse ponctuelle puisqu’alors ses dimensions deviennent négligeables devant sa distance ; dans le même temps,
ce potentiel tend vers zéro, comme pour une masse ponctuelle. On se propose de déterminer le potentiel d’un
corps quelconque sous forme d’un développement qui soit valable à l’extérieur de ce corps, et qui puisse se
réduire, à l’infini, au potentiel d’une masse ponctuelle.
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