Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 2 • section 7.0.0 • Page 70 de 396
On reconnaît l’expression (1.42) du théorème de l’énergie cinétique, avec H représentant l’énergie totale du
système et −U son énergie potentielle.
Dans le cas le plus général on peut décomposer L en L = L 2 + L 1 + L 0 où L 2 , L 1 et L 0 sont respectivement
des fonctions homogènes de degrés 2, 1 et 0 par rapport à l’ensemble des variables ˙q i . En appliquant de nouveau
le théorème d’Euler, on a alors ∑ ∂L k
i
˙q
∂ ˙q i = kL k pour k = 0 à 2, de sorte que H peut se calculer ainsi :
i
H = ∑ i
∂(L 2 + L 1 )
∂ ˙q i
˙q i − L 2 − L 1 − L 0 = L 2 − L 0
Exemple : Equations canoniques du mouvement d’un point P de masse m, mobile dans un plan fixe et attiré
suivant la loi de Newton par un centre fixe O (problème de Kepler). On repère P par des coordonnées polaires
(r,θ) de pôle O. La force d’attraction est proportionnelle à une constante µ et vaut : −mµ/r 3 OP. Elle dérive de
la fonction U = mµ/r. L’énergie cinétique de P est T = 1 2 m(ṙ2 + r 2 ˙θ2 ), et son énergie potentielle est −U. On
en déduit le lagrangien L = T + U et l’hamiltonien :
H = T − U = 1 2 m(ṙ2 + r 2 ˙θ2 ) −
mµ
r
Les variables conjuguées p r et p θ sont alors :
d’où l’on tire : ṙ = p r
m et ˙θ =
p r = ∂L
∂ṙ = ∂T
∂ṙ = mṙ
p θ
mr 2 , puis :
H = 1 ( )
p 2 r + p2 θ
2m r 2 − mµ
r
p θ = ∂T
∂ ˙θ = mr2 ˙θ
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