Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 5 • section 22.2.0 • Page 282 de 396
serait alors :
H = µ2
2L 2 + U J 2
(L, G, Θ, l, g, −) + U J4 (L, G, Θ, l, g, −) + · · · (5.97)
Le premier terme de H représente la partie képlérienne de l’hamiltonien (cf. (5.41)).
On peut généraliser l’expression (5.97) en supposant que l’hamiltonien est développé selon les puissances
d’un petit paramètre ε :
H(x, y) = H (0) (x, −) + ∑ i>0
= H (0) (x, −) + ∑ i>0
ε i H (i) (x, y)
ε i ∑ k
H (i)
k (x) cos(k · y) (5.98)
H (0) représente l’hamiltonien d’un problème intégrable, et l’on suppose que chacune des fonctions perturbatrices
H (i) est développée en série de termes trigonométriques dont les arguments sont des combinaisons linéaires
entières des variables angulaires composant le vecteur y. Le vecteur k parcours l’ensemble des triplets d’entiers
relatifs (k 1 , k 2 , k 3 ) (en fait, dans la suite, on raisonnera souvent en supposant que x et y représentent les variables
de Delaunay). Les équations canoniques s’écrivent alors vectoriellement sous la forme :
dx
dt = ∂H
∂y
dy
dt = −∂H ∂x
Elles ne s’intègrent immédiatement que pour ε = 0, devenant alors :
(5.99)
dx
dt = ∂H(0)
∂y = 0 =⇒ x = x 0
(5.100)
dy
dt = −∂H(0)
∂x = n0 (x) constant =⇒ y = n 0 (x)t + y 0
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