Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 23.3.0 • Page 306 de 396
sur les n(n + 1)/2 termes de cette somme, seuls les n termes qui dépendent de P k interviennent dans le calcul
du gradient en P k ; on obtient par exemple :
∂U
∂x k
= −
n∑
Km i m k (x i − x k )
i=0 (i≠k) [(x i − x k ) 2 + (y i − y k ) 2 + (z i − z k ) 2 ] 3/2
et des expressions analogues pour
∂y ∂U et ∂U ; ce sont bien les composantes du vecteur m
d 2 GP k
k ∂z k k dt 2 obtenues
dans l’équation (6.1).
De la même façon, les équations (6.11) du mouvement relatif des n corps P 1 , . . . , P n par rapport à P 0 peuvent
s’exprimer en fonction du gradient d’un certain potentiel. En effet, (X k , Y k , Z k ) désignant les composantes de
r k , et (∂/∂X k , ∂/∂Y k , ∂/∂Z k ) celles du gradient en P k , noté de nouveau grad k =
∂r ∂ , on vérifie aisément que
k
ces équations se mettent sous la forme :
d 2 r k
dt 2
= −K(m 0 + m k )r k
|r k | 3 + grad k V k pour k = 1, . . . , n (6.14)
avec :
n∑
(
1
V k = Km i
i=1 (i≠k) |r i − r k | − r )
i · r k
|r i | 3
(6.15)
Remarque 1. Au contraire des équations (6.14), les équations (6.12) induisent une formulation canonique. En
effet, pour avoir des équations sous forme canonique, il faut expliciter un jeu de variables conjuguées, tirées d’un
hamiltonien, fonction scalaire représentant la dynamique de l’ensemble des N corps. Or, on constate en (6.12)
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