Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 25.1.2 • Page 333 de 396
25.1.1. Développement de 1/∆ en polynômes de Legendre
Dans l’expression (6.46), on trouve en facteur de 1/r ′ , la fonction génératrice des polynômes de Legendre (cf.
(4.19)). Son développement converge absolument pour |ρ| < 1, ce qui est bien le cas ici :
1
∆ = 1 r ′
∞
∑
n=0
ρ n P n (cos S) =
∞∑
n=0
r n
r ′n+1 P n(cos S)
Si ρ est suffisamment petit (ce serait par exemple le cas d’un satellite perturbé par le Soleil), ce développement
converge très rapidement et, en tenant compte de (6.44), ses premiers termes s’écrivent :
1
∆ = 1 ( a
′
a ′ r ′ + α r ( a
′ ) 2
cos S + α
2( r
) 2 ( a
′ ) ( 3 3
a r ′ a r ′ 2 cos2 S − 1 ) )
+ O(α 3 )
2
(6.48)
Pb11
Pb17
Pb18
Si ρ n’est pas très petit, il vaut mieux développer 1/∆ d’une autre façon (voir plus loin le développement en Dev3.4.1
coefficients de Laplace), mais il est plus facile de mettre en évidence certaines propriétés communes de ces
développements à partir de l’expression (6.48).
Le développement de l’inverse de la distance revient donc pour le moment à exprimer les quantités de la forme
(r n /r ′n+1 ) cos m S en fonction des éléments osculateurs : Il suffit de faire ce calcul pour les premières valeurs
de n (positives ou nulles) et pour m inférieur ou égal à n. Il resterait ensuite à combiner ces développements
suivant l’expression (6.48) ; on pourrait d’ailleurs étendre cette expression à des degrés plus élevés en α en
utilisant l’expression des polynômes de Legendre correspondants, que l’on pourra trouver dans le Tableau 4 du
paragraphe 4-15.4.3, ou construire par récurrence par la formule (4.21).
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