Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 4 • section 15.2.0 • Page 190 de 396
ou en coordonnées sphériques :
∆U 2 (r, λ, ϕ) = ∂2 U 2
∂r 2
+ 2 r
∂U 2
∂r + 1 ∂ 2 U 2
r 2 cos 2 ϕ ∂λ 2 + 1 ∂ 2 U 2
r 2 ∂ϕ 2 − tan ϕ ∂U 2
r 2 ∂ϕ
(4.8)
On vient de voir que le champ de gravitation d’une ou plusieurs masses ponctuelles m i en O i dérive d’un
potentiel U et qu’il est à flux conservatif partout sauf en O i ; donc, partout sauf en O i , le potentiel de gravitation
vérifie l’équation suivante, appelée équation de Laplace :
En chacun des points O i , on a au contraire : ∆U(O i ) = −4πKm i .
∆U(P ) = 0 ∀ P ≠ O i (4.9)
Le cas ∆U = 0 est fort intéressant car les fonctions U qui vérifient cette équation forment l’ensemble des
fonctions harmoniques. On montre que de telles fonctions possèdent les propriétés suivantes : si ∆F = 0 dans
un domaine E des points de l’espace, en tout point P de E, la fonction F (P ) est finie, continue et indéfiniment
dérivable, et égale à sa valeur moyenne sur toute sphère S a (P ) de centre P et de rayon a incluse dans E :
F harmonique ⇐⇒ F (P ) = 1
4πa
∫Q∈S 2 F (Q) dS
a(P )
On utilisera plus loin cette propriété de U d’être une fonction harmonique, en cherchant à représenter le
potentiel de gravitation dans une base de fonctions harmoniques.
15.2. Cas d’une répartition continue de masse
Une masse étendue dans un domaine D de l’espace est définie en chaque point Q de D par une fonction
scalaire positive et bornée ρ(Q) représentant la masse volumique en ce point. Un élément de volume dV au point
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