Cours de Mécanique céleste classique

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du système solaire, ces vitesses angulaires, λ k et λ ′ k , correspondent à des périodes comprises entre 50 000 ans
et 2 millions d’années, cf. (6.177) ; ce sont les fréquences fondamentales du système séculaire. Les amplitudes
a ik et b ik de ces mouvements périodiques à très longues périodes peuvent être importantes. Par exemple, le
module de la variable ẑ T relative à le Terre (représentant en quelque sorte l’excentricité moyenne de l’orbite
de la Terre), oscille entre 0 et 0,07 avec 4 périodes prépondérantes comprises entre 70 000 et 350 000 ans ; il est
surtout important de remarquer que ces variations sont bornées, ce qui n’était pas le cas de la solution à variations
séculaires.
Pour tenir compte des parties non linéaires des équations (6.167), on applique à ce système le changement de
variables (6.170) bâti sur les vecteurs propres de la partie linéaire. On obtient alors :
dX
dt = √ −1(Λ X + P −1 S 3 (PX, P ′ Z) + · · · )
(6.174)
dZ
dt = √ −1(Λ ′ Z + P ′−1 S 3(PX, ′ P ′ Z) + · · · )
Il faut noter que l’application de ce changement de variables fait augmenter considérablement le nombre de
termes ; par exemple, pour les 8 grosses planètes du système solaire, le système (6.174) développé à l’ordre 2 des
masses et au degré 5 en excentricités et inclinaisons, comporte plus de 150 000 termes ! (il faut bien développer
jusqu’à cet ordre et à ce degré pour que le système représente convenablement les mouvements séculaires) Pour
résoudre ce système de façon analytique, on utilise le fait qu’il comporte un noyau intégrable (sa partie linéaire),
et les termes non linéaires sont alors considérés comme des perturbations de ce noyau.
Pour déterminer la nature de la solution, une façon simple de procéder peut consister à substituer la solution
(6.172) dans les termes non linéaires du système, et amorcer ainsi un processus itératif de substitution ; on obtient
alors des termes quasi-périodiques à très longues périodes dont les fréquences sont des combinaisons entières
des valeurs propres λ k et λ ′ k . Par exemple, les termes séculaires de degré 3 en excentricités que l’on trouve dans
les équations dX dt , sont de la forme ∑ i,j,k C ijk x i x j x k ; si on décompose la solution (6.172) composante par
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