Cours de Mécanique céleste classique

⊙ ⊕ ∅
Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 25.1.5 • Page 347 de 396
Les fonctions b (j)
n/2
(ρ) sont les coefficients de Laplace (pour tout j on a : b(j)
n/2
calculer, en posant s = n/2, on écrit d’abord :
(
1 + ρ 2 − 2ρ cos ψ ) −s
=
(
1 − ρ exp
√ −1ψ − ρ exp − √ −1ψ + ρ 2) −s
(ρ) = b(|j|) (ρ) ). Pour les
= (1 − ρ exp √ −1ψ) −s (1 − ρ exp − √ −1ψ) −s (6.77)
puis, en notant u = exp √ −1ψ, on développe chaque facteur par la formule du binôme :
(1 − ρu) −s = 1 + s (−s)(−s − 1)
ρu + ρ 2 u 2 (−s)(−s − 1)(−s − 2)
− ρ 3 u 3 + · · ·
1 1 · 2
1 · 2 · 3
(1 − ρ u )−s = 1 + s ρ (−s)(−s − 1) ρ 2 (−s)(−s − 1)(−s − 2) ρ 3
+
2
−
1 u 1 · 2 u 1 · 2 · 3 u 3 + · · ·
Exercice En faisant le produit de ces 2 séries, le regroupement des termes en facteur de u j (identifié à exp √ −1jψ) donne
1
2 b (j)
s et on trouve, pour j ≥ 0 :
1 s(s + 1) · · · (s + j − 1)
2 b(j) s (ρ) = ρ j s(s + 1) · · · (s + j − 1)(s + j)
+ ρ j+1 × s 1 · 2 · · · j
1 · 2 · · · j(j + 1)
1 ρ +
s(s + 1) · · · (s + j + 1)
+ ρ j+2 s(s + 1)
× ρ 2 + · · ·
1 · 2 · · · j + 2
1 · 2
s(s + 1) · · · (s + j − 1)
= ρ j ×
1 · 2 · · · j
[
× 1 +
s(s + j)
1(j + 1) ρ2 +
s(s + 1)(s + j)(s + j + 1)
1 · 2(j + 1)(j + 2)
= (s) j
(1) j
ρ j F (s, s + j, j + 1; ρ 2 ) (j ≥ 0)
]
ρ 4 + · · ·
n/2
(6.78)
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