Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 2 • section 8.0.0 • Page 72 de 396
˙q i = ∂H
∂p i
; ṗ i = − ∂H
∂q i
pour i = 1 · · · n (2.12)
Supposons donné le changement de variables suivant, entre les anciennes variables (q i , p i ) et les nouvelles
(x i , y i ), explicité par 2n fonctions f i et g i :
q i = f i (x 1 , · · · , x n , y 1 , · · · , y n , t)
p i = g i (x 1 , · · · , x n , y 1 , · · · , y n , t)
On suppose aussi que ces 2n équations peuvent s’inverser pour donner les (x i , y i ) en fonction des (q i , p i ).
(2.13)
On recherche à quelles conditions ce changement de variables est canonique, c’est-à-dire conduit aussi à des
équations canoniques en variables (x i , y i ) :
ẋ i = ∂H′
∂y i
; ẏ i = − ∂H′
∂x i
(i = 1, · · · n) (2.14)
où H ′ est le nouvel hamiltonien (éventuellement différent de H). On peut évaluer ˙q i et ṗ i à partir de (2.13), et
identifier le résultat aux expressions (2.12) :
˙q i = df n∑
(
i
dt = ∂fi
ẋ j + ∂f )
i
ẏ j + ∂f i
∂x j ∂y j ∂t = ∂H
(2.15)
∂p i
ṗ i = dg i
dt =
j=1
n∑
j=1
( ∂gi
∂x j
ẋ j + ∂g i
∂y j
ẏ j
)
+ ∂g i
∂t = −∂H ∂q i
(2.16)
Or, à l’aide de (2.13), on peut évaluer H en fonction des (x j , y j , t) ; soit H ∗ (x j , y j , t) cette expression de H :
H ∗ (x j , y j , t) ≡ H(q i , p i , t)
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