Cours de Mécanique céleste classique

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On va maintenant utiliser ces diverses expressions du potentiel dans les équations de Lagrange ou d’Hamilton,
et introduire à leur propos des méthodes d’intégration par approximations successives, appelées encore méthodes
de perturbations ; on en profitera pour découvrir les principales particularités du mouvement d’un satellite perturbé
par l’aplatissement de sa planète.
22. Méthodes de perturbations
Ayant exprimé le potentiel perturbateur U en fonction d’éléments osculateurs, il est assez facile d’en déduire
les variations de ces éléments par les équations de Lagrange relatives à ces éléments (cf. (5.45) à (5.50), ou
(5.51)). Ces équations montrent qu’il faut distinguer entre variables angulaires et variables métriques, un peu
comme on le fait pour les variables et leurs conjuguées dans les équations canoniques (5.42) : avec les éléments
osculateurs classiques, les variables métriques sont a, e et i, tandis que M, ω et Ω (ou L, ϖ et Ω) sont les variables
angulaires. Cette distinction provient de ce que les variations de a, e et i ne dépendent que des dérivées partielles
de U par rapport à M, ω et Ω (ou à L, ϖ et Ω), et qu’inversement, les variations des variables angulaires
ne dépendent que des dérivées partielles de U par rapport aux variables métriques. Les variables angulaires
n’interviennent d’ailleurs dans U qu’à travers les arguments de fonctions cosinus, sous forme de combinaisons
linéaires entières de ces angles (par exemple, dans (5.61) : jM + 2ω, ou dans (5.62) : jL + kϖ + lΩ). Pour
représenter les équations (5.45) à (5.50) de manière compacte, il est donc intéressant de regrouper les variables
métriques dans une matrice colonne x 1 et les variables angulaires dans une matrice colonne x 2 :
⎛ ⎞
⎛ ⎞
x 1 = (x j 1) j=1. .3
=
⎝ a e
i
⎠ et x 2 = (x j 2) j=1. .3
=
⎝ M ω
Ω
⎠ (5.64)
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Pb10
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