Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 3 • section 12.2.3 • Page 126 de 396
plan (Π). L’angle (ψ − ω) s’interprète comme étant l’anomalie vraie. Finalement, le problème de Kepler admet
donc le nouveau jeu de variables canoniques suivant :
(t − t p , ω, Ω, h, G, Θ) (3.72)
dont les cinq dernières, étant des constantes, sont des éléments d’orbite canoniques ; l’énergie h est la variable
canonique conjuguée du temps, le moment cinétique G est conjugué de l’argument du péricentre ω et la composante
Θ du moment cinétique sur Ok 0 est conjugué de la longitude du nœud Ω ; l’hamiltonien dans ces variables
vaut simplement :
H ′ (t − t p , ω, Ω, h, G, H) = H ′ (−, −, −, h, −, −) = h (3.73)
Il reste à terminer l’intégration de l’équation (3.68) pour exprimer r en fonction du temps. Nous le ferons
dans le cas du mouvement elliptique, en introduisant les éléments de Delaunay.
12.2.3. Passage aux éléments canoniques de Delaunay
Dans le cas du mouvement elliptique, posons h = −µ/(2a) et utilisons la relation G = √ µa(1 − e 2 ) issue
de l’expression de l’excentricité dans (3.71). Alors, le changement de variable régularisant : r → E défini par
r = a(1 − e cos E), permet d’intégrer (3.68) en aboutissant à l’équation de Kepler :
t − t p = √ a 3 /µ (E − e sin E) (3.74)
Exercice Introduisant alors l’anomalie moyenne M = √ µ/a 3 (t − t p ), on peut faire en sorte que M soit une des variables
canoniques. Il suffit de définir une transformation canonique entre (t − t p , h) et (M, L) qui ne change ni
l’hamiltonien ni les autres variables, et pour cela il suffit d’avoir :
(t − t p )dh − MdL = 0
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