Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 25.1.0 • Page 331 de 396
ζ k , L k ) (cf. (3.46) et (3.49)). Les variations de ces éléments sont données par les équations de Lagrange vues
en (5.51) ou en (5.52) où, pour la planète P k , on remplace U par ∑ U ki et les éléments (a, n, e, i, Ω, ω, z, ζ, L)
par les éléments correspondant à cette planète. Il convient donc d’exprimer tout d’abord chaque U ki en fonction
de ces éléments osculateurs. Les excentricités e k et les inclinaisons i k des orbites osculatrices seront supposées
suffisamment petites pour que les planètes n’aient jamais de rapprochements serrés, et aussi pour que l’on puisse
d’abord développer U ki en puissances de e k et i k (ou de z k et ζ k ), puis tronquer ces développements à un degré
relativement peu élevé (quelques unités).
Remarque. Si le problème concernait les satellites d’une planète P 0 supposée non sphérique, il faudrait ajouter
à l’équation (6.40) le gradient en P k d’une fonction U 0k représentant le potentiel de gravitation non sphérique de
cette planète ; en limitant par exemple ce potentiel au terme en J 2 , on aurait (cf. (4.30)) :
a 2 0
U 0k = −Km 0 J 2
rk
3 P 2 (sin ϕ k ) (6.43)
où a 0 représente le rayon équatorial de la planète et ϕ k la latitude de P k au dessus de son plan équatorial. Le
développement de cette fonction perturbatrice a déjà été vu en §5-21.5. Si les satellites ont des masses suffisantes
pour se perturber mutuellement (comme les planètes entre elles), la fonction perturbatrice précédente aurait en
facteur K(m 0 + m k ) au lieu de Km 0 et il faudrait tenir compte aussi des perturbations indirectes causées par
l’aplatissement de la planète (voir pour cela l’application Maple réalisée sur ce sujet)
25.1. Développement de la fonction perturbatrice
Dans cette partie, pour simplifier les notations et limiter l’usage des indices, on considère seulement deux
planètes P et P ′ , de masses m et m ′ ; elles sont rapportées au Soleil P 0 par les vecteurs r = ru et r ′ =
r ′ u ′ , de modules r et r ′ ; on note encore ∆ leur distance mutuelle (∆ = |r − r ′ |) et S l’angle entre r et
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