Cours de Mécanique céleste classique

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⊙ ⊕ ∅ Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 25.1.3 • Page 344 de 396 effet : degré global = k + k + l + l + k ′ + k ′ + l ′ + l ′ } = C I + 2(k + l + k ′ + l ′ =⇒ degré global ≥ |C I | (6.73) ) Si deux séries vérifient chacune la propriété de d’Alembert (C M = C I pour chaque terme), leur produit la vérifie aussi. Comme le développement de 1/∆ en polynômes de Legendre est une somme de produits en a n /a ′n′ (r/a) n (a ′ /r ′ ) n′ cos m S, ce développement vérifie aussi la propriété de d’Alembert. Exercice Remarque 3. On aurait pu chercher à exprimer cos S d’abord en fonction de l’inclinaison mutuelle J des deux plans d’orbite, comme cela se fait souvent car l’expression obtenue est plus simple : On pourrait montrer en effet que dans l’expression (6.57) de cos S, les quantités complexes (χζ ′ − χ ′ ζ) et (χχ ′ + ζζ ′ ) ont pour module sin(J/2) et cos(J/2) respectivement. En fait, il est plus intéressant de faire intervenir directement comme ici i et i ′ , les deux inclinaisons sur un plan extérieur ; en effet les équations de Lagrange ou d’Hamilton sont exprimées de façon naturelle dans des repères de directions fixes et donc, ne font pas intervenir les inclinaisons mutuelles. Ce sont néammoins les inclinaisons mutuelles qui gouvernent les perturbations des plans d’orbite. Si l’on désire une expression en inclinaison mutuelle, il suffit ici de considérer que l’orbite de P ′ est confondue avec le plan fondamental et de faire i ′ = Ω ′ = 0 et i = J. Le fait que ce soit l’inclinaison mutuelle qui gouverne les perturbations des plans d’orbite a quand même une conséquence sur la structure du développement exprimé en fonction des deux inclinaisons : En effet, si les deux plans d’orbite sont confondus à un instant donné et si il n’y a pas d’autre perturbation entre les deux corps, ces plans doivent rester confondus ; alors, d’après les équations de Lagrange (5.51) ou (5.52), la fonction perturbatrice ne doit donc plus dépendre ni de i, ni de i ′ , ni de Ω, ni de Ω ′ , ou également ni de ζ et ni de ζ ′ . Les termes dépendant des inclinaisons doivent donc disparaître complètement du développement de la fonction perturbatrice lorsque l’on fait ζ ′ = ζ et ζ ′ = ζ. Tenant compte de ces deux égalités, on peut réorganiser le développement (6.66) de façon à mettre chaque monôme en excentricités en facteur des monômes en inclinaisons, •Sommaire •Index •Page d’accueil •Précédente •Suivante •Retour •Retour Doc •Plein écran •Fermer •Quitter
⊙ ⊕ ∅ Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 25.1.4 • Page 345 de 396 eux-mêmes regroupés par degrés d : ∑ j ∑ k,k,k ′ ,k ′ z k z k z ′k′ z ′k′ ∑ d=0,2,4,··· ( ∑ l+l+l ′ +l ′ =d C M,j ζ l+l′ ζ l+l′ ) exp √ −1(pL + p ′ L ′ ) Alors, pour chaque valeur de p et de p ′ , pour chaque 4-uplet (k, k, k ′ , k ′ ), et pour chaque degré d non nul, les coefficients C M,j présents dans la sommation mise entre parenthèses ont une somme identiquement nulle. Quand on effectue la troncature des développements, il convient de respecter cette structure et de conserver tous les termes d’un même degré en inclinaisons, surtout si ces inclinaisons sont fortes. Si les deux plans d’orbite sont voisins tout en étant fortement inclinés sur le plan de référence, les inclinaisons i et i ′ sont fortes mais voisines tandis que J est faible : Il convient alors de faire la troncature des développements sans dissocier les termes de même degré issus des quantités (χζ ′ − χ ′ ζ) et (χχ ′ + ζζ ′ ) . Finalement, ce qui importe pour pouvoir tronquer les développements, ce n’est pas que les 2 inclinaisons soient faibles, mais bien plutôt que ce soit l’inclinaison mutuelle qui soit faible. 25.1.4. Développement de 1/∆ en coefficients de Laplace Si α est trop grand, le développement (6.48) en polynômes de Legendre et en puissances de α converge trop lentement pour être utilisable. C’est le cas des problèmes de type planétaire où α peut atteindre des valeurs voisines de 0,8 . En effet, examinons ce développement, tronqué à un certain degré d, dans le cas plus simple de deux orbites circulaires et coplanaires : On a alors 1/∆ = (1/a ′ ) ∑ d n=0 αn P n (cos S) ; après avoir développé chaque polynôme de Legendre, on peut exprimer les puissances de cos S en fonction des cos pS, puis factoriser chaque cos pS ; on obtient ainsi un développement analogue à une série de Fourier, de la forme (1/a ′ ) ∑ d p (α) cos pS, où les fonctions φ (d) p (α) sont des polynômes de degré d en α. Avec α = 0,8 et p=0 φ(d) Dev3.4.4 •Sommaire •Index •Page d’accueil •Précédente •Suivante •Retour •Retour Doc •Plein écran •Fermer •Quitter
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