Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 24.3.2 • Page 323 de 396
planètes et pour la plupart des petites planètes du système solaire. Avec m 1
m 0
= 10 −5 et ε = 10 −3 , on obtiendrait
α > 1/10 : P 2 peut s’approcher d’autant plus de P 1 que m 1 /m 0 est plus petit. Bien sûr, dans le même temps,
le mouvement héliocentrique de P 1 pourra aussi être considéré comme perturbé par P 2 si α vérifie une relation
analogue à (6.33) avec m 2 à la place de m 1 : C’est la plus grande des 2 masses qu’il faut donc utiliser dans cette
relation.
Remarque. On peut généraliser cette situation à un ensemble de n planètes de masses m i petites devant celle
m 0 du Soleil. Les équations (6.11) représentent alors n problèmes képlériens perturbés si aucune des quantités
1/|r i −r j | 2 ne peut devenir grande devant 1/|r k | 2 quelque soit k : Il suffit pour cela que les orbites des n planètes
soient bien hiérarchisées, ne permettant pas de rapprochements serrés entre planètes ; c’est le cas de systèmes
planétaires dont les orbites sont quasi-circulaires et quasi-coplanaires, et dont les demi-grands axes, ordonnés par
valeurs croissantes, sont tels que a i+1 − a i soit du même ordre de grandeur que a i . C’est alors ce qu’on appelle
un problème de n + 1 corps de type planétaire .
24.3.2. cas {Soleil + planète + satellite} : m 0 ≫ m 1 ≫ m 2
m 0 représente toujours la masse du Soleil, m 1 celle d’une planète et m 2 celle d’un satellite de cette planète.
L’équation (6.18) représente alors le mouvement planétocentrique du satellite perturbé par le Soleil. Bien que m 0
soit très grand devant m 1 et m 2 , le terme ayant Km 0 en facteur dans cette équation pourra être une perturbation
du terme képlérien si ce facteur,
r 1
|r 1 | 3 − r 2
|r 2 | 3 , est lui-même assez petit ; cela arrivera si |r 1 | est suffisamment
voisin de |r 2 |, c’est-à-dire si le satellite est toujours suffisamment proche de sa planète ; l’influence de celleci
restera alors prépondérante sur celle du Soleil. Le terme képlérien, en 1/|r 2 − r 1 | 2 , est d’ailleurs lui-même
amplifié par la petitesse de |r 2 − r 1 |.
On peut se demander jusqu’à quelle distance P 2 peut s’éloigner de P 1 pour que son mouvement autour de
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