Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 25.1.6 • Page 350 de 396
où
(
M désigne les 4-uplets d’entiers positifs ou nuls {k, k, k ′ , k ′ }. Bien entendu, le développement de 1/∆ =
1 a
′
)
a ′ r ′ D −1 s’obtient de façon analogue sous la même forme.
25.1.6. Extension aux orbites inclinées
Nous supposerons que les inclinaisons des 2 orbites sur le plan fondamental sont suffisamment voisines pour
pouvoir utiliser des développements en série entière des variables ζ, ζ ′ et de leurs conjuguées. Dans ce cas, le
développement de 1/∆ va pouvoir se déduire des calculs déjà faits jusqu’ici car, avec 1/D introduit en (6.74),
on peut écrire :
Dev2.3.2
1
∆ = 1 r ′ (1 + ρ2 − 2ρ cos ψ − 2ρ(cos S − cos ψ)) −1/2
= 1 (6.85)
r ′ D−1 (1 − ρW D −2 ) −1/2 avec W = 2(cos S − cos ψ)
La quantité W est de degré 2 au moins par rapport aux inclinaisons, puisque, avec ψ = l − l ′ et les expressions
de cos S trouvées en (6.57) et (6.61), on a immédiatement :
W = 2Re {( (χχ ′ + ζζ ′ ) 2 − 1 ) exp √ −1(l − l ′ ) + (χζ ′ − χ ′ ζ) 2 exp √ −1(l + l ′ ) }
= 2Re{θθ [ ′ (χ 2 χ ′2 − 1) exp √ −1(L − L ′ ) + 2χχ ′ Y Y ′ + Y 2 Y ′2 exp − √ −1(L − L ′ ) ] (6.86)
+ θθ ′ [ χ 2 Y ′2 exp √ −1(L − L ′ ) − 2χχ ′ Y Y ′ + Y 2 χ ′2 exp − √ −1(L − L ′ ) ] }
et où manifestement, (χ 2 χ ′2 − 1) est de degré 2 au moins en inclinaisons. Cette expression de W , ou celle de
ρW , se développent bien sûr comme en (6.63) en fonction des variables X, X ′ , Y , Y ′ et de leurs conjuguées, ou
comme en (6.66) en fonction des variables z, z ′ , ζ, ζ ′ et de leurs conjuguées.
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