Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 25.1.6 • Page 351 de 396
Il ne reste alors qu’à calculer les puissances successives de ρW de façon à développer par la formule du
binôme l’expression de 1/∆ vue en (6.85) :
1
∆ = 1 r ′
∞
∑
k=0
( 1 2 ) k
(1) k
(ρW ) k D −2k−1 (6.87)
Puisque W est de degré 2 au moins, pour tronquer cette série au degré global d en excentricités et inclinaisons, il
suffit de faire varier k de 0 à E(d/2) (partie entière de d/2) et de tronquer le développement de D −2k−1 au degré
(d − 2k) en excentricités ; compte tenu de l’expression de D −n obtenue en (6.82), le calcul pratique de l’inverse
de la distance au degré d peut s’effectuer à partir de la formule :
[ a
′ ]
∆
d
=
+J
∑ max
d∑
j=−J max m=0
∑
E(d/2)
k=0
(−1) k (− 1 2 ) k
(1) k
α k 0 ϕ (|j|)
2k+1,m (α 0) ×
( r
) |j|+kθ (
× (1 + δ) |j|+k j a
′ ) |j|+k+1θ ′j
a r ′ ×
( ( r
) 2 ( a
′ ) ) 2 m
× (1 + δ) 2 − 1
a r ′ W k exp √ −1j(L − L ′ )
(6.88)
Vu les résultats précédents, cette expression se ramène à un développement de la forme :
[ a
′ ]
∆
d
+J
∑ max
=
j=−J max
∑
H∈N 2
∑
Φ MHj (α 0 ) η h η ′h′ z k z k z ′k′ z ′k′ ζ l ζ l ζ ′l′ ζ ′l′ exp √ −1(pL + p ′ L ′ ) (6.89)
M∈N 8 (d)
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