Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 2 • section 8.0.0 • Page 76 de 396
n∑
j=1
n∑
j=1
g j
∂f j
∂y k
∂f j
g j
∂t + F = ∂G
∂t
= ∂G
∂y k
(2.21)
(2.22)
En dérivant (2.20) par rapport à y k , et (2.21) par rapport à x k , puis en effectuant la différence membre à
membre, on obtient :
n∑
( ∂gj ∂f j ∂ 2 ) (
f j
∂gj ∂f j ∂ 2 )
f j
+ g j − 1 − + g j = ∂2 G
−
∂2 G
∂y k ∂x k ∂y k ∂x k ∂x k ∂y k ∂x k ∂y k ∂y k ∂x k ∂x k ∂y k
j=1
Si les fonctions f j et G sont continues et à dérivées partielles continues, il reste :
[x k , y k ] − 1 = 0
De même, si l’on dérive (2.20) par rapport à y i (pour i ≠ k), et si l’on dérive par rapport à x k l’équation (2.21)
écrite en remplaçant k par i, on obtient :
n∑
( ∂gj ∂f j ∂ 2 ) (
f j
∂gj ∂f j ∂ 2 )
f j
+ g j − 0 − + g j = ∂2 G
−
∂2 G
∂y i ∂x k ∂y i ∂x k ∂x k ∂y i ∂x k ∂y i ∂y i ∂x k ∂x k ∂y i
j=1
soit : [x k , y i ] = 0
On trouverait de la même façon : [x k , x i ] = 0 et [y k , y i ] = 0
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