Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 3 • section 12.2.4 • Page 129 de 396
Pour éviter ces singularités, Poincaré a introduit des variables canoniques non singulières lorsque l’excentricité
et l’inclinaison sont nulles. Ce sont les éléments suivants :
Λ = L
λ = l + g + ϑ
ξ = √ 2(L − G) cos(g + ϑ) η = − √ 2(L − G) sin(g + ϑ)
p = √ 2(G − Θ) cos ϑ q = − √ 2(G − Θ) sin ϑ
(3.79)
(notons que, vue la signification des éléments de Delaunay, λ représente la longitude moyenne, g + ϑ = ϖ est la
longitude du péricentre dans l’orbite et ϑ = Ω est la longitude du nœud ascendant)
Ces éléments sont tout-à-fait analogues aux variables k, h, q et p déjà introduites en (3.47). En effet
√ √
2(L − G) = 2L(1 − √ 1 − e 2 ) est de l’ordre de e √ L et √ √
2(G − Θ) = 2L √ (1 − e 2 )(1 − cos i) est de
l’ordre de sin i √ L.
Pour passer des éléments de Delaunay (L, G, Θ, l, g, ϑ) aux éléments de Poincaré on définit d’abord d’autres
variables canoniques :
x 1 = L p 1 = l + g + ϑ (= λ)
x 2 = L − G p 2 = −(g + ϑ) (= −ϖ)
(3.80)
x 3 = G − Θ p 3 = −ϑ (= −Ω)
Cette transformation est canonique puisqu’elle vérifie la condition de canonicité :
ldL + gdG + ϑdΘ − p 1 dx 1 − p 2 dx 2 − p 3 dx 3 = 0
Ensuite, il suffit de vérifier qu’une transformation du type :
(y, x) −→ (u, v) avec u = √ 2y cos x et v = √ 2y sin x (3.81)
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