Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 5 • section 22.0.0 • Page 264 de 396
Alors, la fonction perturbatrice U peut être écrite sous la forme :
(
U(x 1 , x 2 ) = ε U 0 (x 1 ) + ∑ )
U k (x 1 ) cos(k · x 2 )
k
(5.65)
où k représente une matrice ligne composé de 3 entiers (j, k, l) de telle sorte que le produit scalaire (k · x 2 ) soit
égal à l’argument jM + kω + lΩ. Dans (5.65), ε est le petit paramètre représentatif de la perturbation : on fera
par exemple ε = J 2 , mais dans U on pourra mettre aussi les autres termes en J n de la fonction perturbatrice
(bien qu’ils soient alors au moins de l’ordre de ε 2 ) ; quant aux termes en J np , leurs arguments étant de la forme
pθ + jM + kω + lΩ où θ est l’angle de rotation de la planète sur elle-même, on pourra aussi les inclure dans U
en supposant que k est alors un quadruplet d’entiers.
On a séparé dans U la partie U 0 indépendante des variables angulaires ; le reste de U ne contient que des
termes périodiques dont les arguments sont des combinaisons de variables angulaires et dont les coefficients ne
dépendent que des variables métriques : on suppose donc que l’ensemble des triplets k ne contient pas l’élément
(0, 0, 0).
En appliquant les équations de Lagrange et en notant n la matrice colonne de composantes (n, 0, 0) où n
représente le moyen mouvement osculateur tel que n 2 a 3 = µ, les équations du mouvement perturbé se présentent
sous la forme :
dx 1
dt = ε ∑ k
nP 1k (x 1 ) sin(k · x 2 )
dx 2
dt = n + ε (
nS(x 1 ) + ∑ k
) (5.66)
nP 2k (x 1 ) cos(k · x 2 )
Notons que le terme S(x 1 ) provient des dérivées partielles de U 0 par rapport aux variables métriques, et que ce
terme n’existe que dans les variations des variables angulaires. On aurait bien sûr obtenu les mêmes équations en
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