Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 5 • section 21.5.0 • Page 255 de 396
toutes régulières, il faut utiliser d’autres éléments, par exemple les variables complexes z = e exp √ −1ϖ et
ζ = sin i 2 exp √ −1Ω. Pour cela, on écrit d’abord :
puis
dz
dt = de
dt exp √ −1ϖ + √ −1e exp √ −1ϖ dϖ ( 1
dt = z e
∂U
∂e = ∂U ∂z
∂z ∂e + ∂U ∂z
∂z ∂e
∂U
∂ϖ =∂U ∂z
∂z ∂ϖ + ∂U
∂z
= 1 e
∂z
∂ϖ = √ −1
(
z ∂U
de
)
+ √ −1z dϖ
dt dt
∂z + z ∂U )
∂z
(
z ∂U
∂z − z ∂U )
∂z
On écrit des relations analogues entre ζ, ζ, i et Ω. On obtient, mais avec cette fois ϕ = √ 1 − e 2 = √ 1 − zz :
Dev5.1
da
dt = 2 ∂U
na ∂L
√ [
dz
dt = −1 ϕ
na 2 2 ∂U √
∂z +
−1
(1 + ϕ) z ∂U
∂L + z (
2ϕ 2 ζ ∂U
∂ζ + ζ ∂U ) ]
∂ζ
√ [
dζ
dt =
−1 ∂U
2na 2 ϕ ∂ζ + √ −1 ζ ∂U (
∂L − ζ z ∂U
∂z − z ∂U ) ]
∂z
dL
dt = n − 2 ∂U
na ∂a + ϕ
(
na 2 z ∂U
(1 + ϕ) ∂z + z ∂U )
+ 1 (
∂z 2na 2 ζ ∂U
ϕ ∂ζ + ζ ∂U )
∂ζ
(5.52)
Les équations donnant dz dζ
et sont évidemment les conjuguées de celles donnant dz
dt dt dt
toutes les équations (5.52) sont bien régulières en e = 0 et en i = 0.
dζ
et . On vérifie que
dt
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