Cours de Mécanique céleste classique

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de nouvelle constante) :
∆x 1 (t) = −ε ∑ k
∫
∆x 2 (t) = ∆n dt + ε ∑ k
¯n
(k · n x2 ) P 1k(¯x 1 ) cos(k · ¯x 2 )
¯n
(k · n x2 ) P 2k(¯x 1 ) sin(k · ¯x 2 )
(5.77)
Dans cette dernière expression, seule la première composante de ∆n est non nulle et égale à : − 3¯n
2ā
∆a (où
∆a = ∆x 1 1). Dans ∆x 1 2 (c’est-à-dire dans ∆M), on a donc des termes intégrés deux fois :
∫
∆n dt = 3
2ā ε ∑ k
¯n 2
(k · n x2 ) 2 P 1 1k(¯x 1 ) sin(k · ¯x 2 ) (5.78)
En résumé, la solution ainsi obtenue comporte une partie ¯x i constante ou linéaire en t et appelée partie séculaire
; elle est d’ordre zéro en ε. La partie ∆x i est une somme de termes périodiques, donc nulle en moyenne sur
un temps infini. Alors, dans les équations (5.66) et (5.67), les termes S et P ik sont aussi appelés respectivement
termes séculaires et termes périodiques.
Remarque. On constate que les solutions ∆x i ont toutes ε en facteur ; elles sont donc bien de l’ordre de ε
à condition qu’en facteur de cet ε on n’ait pas une quantité de l’ordre de 1/ε. Or, l’intégration des termes
trigonométriques fait intervenir les diviseurs (k · n x2 ) = jn M + kn ω + ln Ω ; bien sûr, il faut que ces diviseurs
soient tous différents de zéro, et même plus, si l’on veut que ∆x i soit de l’ordre de ε, il faut que, quelque soit k,
les produits (k·n x2 ) soient grands devant ε ¯n. En outre, comme certains termes subissent une double intégration,
donc avec des diviseurs élevés au carré, il faut même avoir (k · n x1 ) ≫ √ ε ¯n. Comme on a exclus le triplet
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