Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 23.2.0 • Page 303 de 396
La constante h représente l’énergie totale du système, qui est conservée au cours du temps.
En tenant compte des constantes C et h, on pourrait réduire encore l’ordre du système différentiel de 4 unités
(en exprimant 4 des variables de position ou de vitesse en fonction de ces 4 constantes scalaires). En fait on
explicite rarement cette réduction d’ordre car cela détruit les symétries présentes initialement dans les équations.
Remarque . Si l’on ne peut résoudre analytiquement le problème des N corps, on peut toujours au moins,
par l’intégration numérique, trouver une solution particulière discrète correspondant à des conditions initiales
données, et valable sur un intervalle de temps fini ; les intégrales premières peuvent alors servir pour contrôler
l’évolution des erreurs numériques (de troncature et d’arrondi) qui se propagent lors des “pas” successifs de
l’intégration : Les expressions (6.4) et (6.6) notamment doivent conserver une valeur constante tout le long de
l’intégration numérique.
23.2. Réduction à un problème de N − 1 corps
On a déjà évoqué la possibilité de cette réduction dans le paragraphe précédent, après avoir obtenu le mouvement
rectiligne et uniforme du point G, centre de masse des N corps. En posant u k = GP k , la relation (6.3)
devient :
n∑ m k
u 0 = − u k (6.7)
m 0
k=1
Comme le système est isolé, un repère en translation d’origine G est galiléen, et l’on peut écrire les équations
(6.1) pour k = 1 à n sous la forme :
d 2 u k u 0 − u k
n∑
dt 2 = Km 0
|u 0 − u k | 3 + u i − u k
Km i
i=1 (i≠k) |u i − u k | 3 (6.8)
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