Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 3 • section 12.1.0 • Page 112 de 396
mouvement est rectiligne, k ne peut plus être défini à partir de G qui est nul ; on peut alors prendre pour k un
vecteur unitaire quelconque orthogonal à la direction fixe u 0 = −u, et le mouvement rectiligne s’effectue alors
aussi dans le plan normal à k. Si le mouvement est circulaire, on ne peut plus définir u 0 à partir de e qui est
nul ; on peut alors prendre pour u 0 un vecteur unitaire quelconque fixe et orthogonal à k, c’est-à-dire suivant un
diamètre quelconque de l’orbite circulaire. t p représente alors dans tous les cas l’instant où u = u 0 (modulo T si
le mouvement est périodique).
Le troisième regroupement : (µ, h, p, k, u 0 , t p ) a l’avantage d’expliciter un repère orthonormé direct et fixe
R lié à l’orbite : R = Ou 0 v 0 k, où O est le foyer attractif et où v 0 représente k ∧ u 0 . Le repère R, respectant
les axes ou plans de symétrie du mouvement, est le repère naturel ou repère propre de ce mouvement képlérien.
On a ainsi une représentation intrinsèque car on n’a pas eu besoin de définir comment le repère R se situe par
rapport au repère galiléen de référence.
Il suffit en fait de trois éléments d’orbite pour représenter un mouvement képlérien dans son repère propre :
Pour µ fixé, les constantes scalaires h, p et t p caractérisent la forme de l’orbite, sa dimension ou son énergie et le
mouvement dans R. Cependant, sauf si l’orbite est parabolique, on préfère souvent utiliser, à la place de h et p,
l’excentricité e et le demi-grand axe a qui s’en déduisent par les formules (3.15) et (3.17). Ne faisant intervenir
que des modules de vecteurs, leur calcul à partir des vecteurs position et vitesse ne dépend pas du repère (fixe)
dans lequel sont exprimés ces vecteurs. A la place de l’instant de passage au péricentre t p , on pourrait aussi
utiliser la valeur w 0 ou M 0 d’une des anomalies à un instant fixé t 0 . A la place de a, on peut aussi utiliser le
moyen mouvement n = √ µ/a 3 ou éventuellement la période T ; bien sûr, les valeurs de a et n dépendent du
système d’unités adopté pour mesurer les longueurs et les temps ; elles dépendent aussi de l’unité de masse car µ
dépend de la constante de la gravitation universelle K qui elle-même en dépend. On verra en §12.3 comment les
valeurs de a, n et µ d’un mouvement képlérien particulier peuvent servir à définir un système d’unités commodes
pour les besoins de l’Astronomie.
Les trois autres éléments d’orbite contenus dans la définition des vecteurs unitaires et orthogonaux k et u 0
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