Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 5 • section 20.4.0 • Page 238 de 396
Cependant, il peut être parfois plus efficace de faire l’intégration numérique directe de l’équation initiale (5.1)
plutôt que celle des équations de Gauss, puisqu’il est toujours possible de calculer ensuite les éléments d’orbite
osculateurs aux instants où la position et la vitesse de P sont connues.
Notons que les équations donnant dΩ
dt , dω
dt et dM sont singulières lorsque e ou i s’annulent, ce qui est
dt
normal puisqu’alors ces angles deviennent indéterminés. Pour avoir des équations régulières, il faut prendre des
éléments réguliers comme la longitude moyenne L = Ω + ω + M = ϖ + M, ou comme les variables complexes
z = e exp √ −1ϖ et ζ = sin(i/2) exp √ −1Ω. Les équations (5.24) permettent de déduire les variations de ces
éléments réguliers. On trouve par exemple :
Ge dϖ
dt
dL
dt
= −p R cos w + (r + p) S sin w + e tan(i/2) r W sin(ω + w) (5.25)
2r R
= n(t) − √ + 1 {
√
1 − 1 − e
2
(−p R cos w + (r + p) S sin w)
µa G e
} (5.26)
+ tan(i/2) r W sin(ω + w)
Exercice Dans cette dernière expression, le facteur 1 − √ 1 − e 2
comme e/2 quand e tend vers zéro.
e
n’est pas singulier en e = 0 puisqu’il se comporte
20.4. Exemple d’application des équations de Gauss
Utilisons les équations de Gauss pour exprimer les variations des éléments orbitaux d’un satellite sous l’effet
d’une accélération perturbatrice opposée à la vitesse. L’équation suivante modélise ainsi de façon simplifiée
Pb8
Pb11
Pb12
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