Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 23.3.0 • Page 307 de 396
Exercice
que les équations du mouvement absolu des N corps sont construites à partir du gradient d’une seule fonction U,
tandis que celles du mouvement relatif (explicitées en (6.14)) utilisent le gradient de n fonctions V k distinctes.
Les fonctions V k ne permettent pas de construire un hamiltonien, mais, dans le mouvement absolu, il y a un
hamiltonien évident : H = T + U [cf. (6.6)]. Avec T = 1 ∑ n
2 k=0 m k ˙u 2 k , les équations d’Hamilton sont relatives
aux variables canoniques u k = (x k , y k , z k ) k=0,...,n et à leurs conjuguées ũ k = (˜x k , ỹ k , ˜z k ) k=0,...,n définies par :
ũ k =
∂ ∂T = m
˙u k ˙u k , soit encore : ˜x k = ∂T = m
k
∂ẋ k ẋ k et des expressions analogues avec y k et z k . Après avoir
k
exprimé H = T + U en fonction de ces variables, on obtient les équations canoniques suivantes, équivalentes à
(6.12) :
du k
dt
= ∂H
∂ũ k
et
dũ k
dt
= − ∂H
∂u k
Remarque 2. Une autre façon de mettre le problème des N corps sous forme canonique, consiste à adopter les
coordonnées de Jacobi : Considérant les N corps dans un certain ordre, par exemple P 0 , P 1 , . . . , P n , on prend Pb14
comme variables les vecteurs v 1 = P 0 P 1 , v 2 = G 1 P 2 où G 1 est le centre de masse de P 0 et P 1 , puis v 3 = G 2 P 3
où G 2 est le centre de masse des 3 premiers corps, et ainsi de suite jusqu’à v n = G n−1 P n où G n−1 est le centre
de masse des n − 1 premiers corps. En posant :
µ k =
k∑
j=0
m j
on obtient facilement les relations suivantes entre les v i et les r i :
v 1 = r 1 et pour i > 1 : v i = r i − 1 ∑i−1
µ i−1
j=1
m j r j ; r i = v i +
∑i−1
j=1
m j
µ j
v j
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